3×3 행렬식 계산법: 여인수 전개와 사러스 법칙
3×3 행렬식은 여인수 전개로 2×2 행렬식 세 개로 나눠서 풀 수 있어요. 이 글에서는 여인수 전개와 사러스 법칙, 그리고 행 소거로 같은 값을 구해 봐요.
행렬식이란?
행렬식은 정사각행렬에 하나의 수를 대응시키는 값이에요. 기하학적으로는 행렬이 나타내는 변환이 넓이(2×2)나 부피(3×3)를 몇 배로 바꾸는지를 의미해요. 행렬식이 0이면 역행렬이 없어요.
먼저 2×2 행렬식을 기억해 두세요. 3×3 계산에서 계속 쓰여요.
여인수 전개 규칙
한 행(또는 열)을 정해서 그 행의 각 성분에 소행렬식을 곱해 더하는 방법이에요. 성분 aᵢⱼ의 소행렬식 Mᵢⱼ는 i행과 j열을 지우고 남은 행렬의 행렬식이에요.
부호는 아래처럼 체스판 모양으로 붙어요. 위 왼쪽이 +이고, 한 칸 이동할 때마다 부호가 바뀌어요.
1행을 따라 전개하면 이렇게 써요.
예제: 1행으로 전개하기
1행의 성분은 2, −1, 0이에요. 각 성분에 해당하는 소행렬식을 먼저 구해요.
이제 부호를 붙여 더해요.
1행의 세 번째 성분이 0이라서 세 번째 항은 소행렬식을 구하지 않아도 0이에요. 이렇게 0이 많은 행이나 열을 골라 전개하면 계산이 줄어요.
다른 행·열로 전개해도 같아요
1열은 아래 성분이 0이에요. 1열로 전개하면 a₃₁M₃₁이 0이 되어 항이 두 개만 남아요. 부호는 +, −, +예요.
1행으로 구한 값과 같아요. 어느 행이나 열로 전개해도 결과는 같으니, 계산이 쉬운 쪽을 고르세요.
사러스 법칙
3×3에서만 쓸 수 있는 방법이에요. 오른쪽 아래로 향하는 대각선 세 개의 곱을 더하고, 왼쪽 아래로 향하는 대각선 세 개의 곱을 빼요.
사러스 법칙은 4×4 이상에는 쓸 수 없어요. 여인수 전개는 크기에 상관없이 쓸 수 있어서 함께 알아 두는 게 좋아요.
행 소거로 구하기
4×4 이상에서는 행 소거로 상삼각행렬을 만드는 방법이 편해요. 대각선 아래를 0으로 만들면 행렬식은 대각 성분의 곱이에요. 같은 행렬로 해 볼게요.
- 1행 소거로 상삼각행렬을 만들어요.2−10132014
- 21열의 피벗 아래를 0으로 만들어요. 이 연산은 행렬식을 바꾸지 않아요.
R₂ ← R₂ − (1/2)R₁2−100722014 - 32열의 피벗 아래를 0으로 만들어요. 이 연산은 행렬식을 바꾸지 않아요.
R₃ ← R₃ − (2/7)R₂2−10072200247
대각 성분을 곱하면 2 · 7/2 · 24/7 = 24예요. 행을 서로 바꾸지 않았으니 부호는 그대로예요. 세 방법의 결과가 모두 같아요.
행렬식의 성질
- 두 행(또는 열)을 서로 바꾸면 부호가 반대가 돼요.
- 한 행에 k를 곱하면 행렬식도 k배가 돼요.
- 한 행에 다른 행의 상수배를 더해도 값이 변하지 않아요.
- det(Aᵀ) = det(A), det(AB) = det(A)·det(B)예요.
- n×n 행렬에서 det(kA) = kⁿ·det(A)예요.
- 삼각행렬의 행렬식은 대각 성분의 곱이에요.
- det(A) = 0이면 A는 역행렬이 없고, 행들이 선형종속이에요.
자주 하는 실수
- 소행렬식을 구할 때 지우는 행과 열을 헷갈려요. 성분이 있는 행과 열을 지워요.
- 체스판 부호를 빼먹어요. 가운데 성분 a₁₂는 −예요.
- 사러스 법칙을 4×4에 써요. 사러스는 3×3 전용이에요.
- 행을 바꾸고도 부호를 되돌리지 않아요.
자주 묻는 질문
행렬식이 음수면 무슨 뜻인가요?
변환이 방향을 뒤집는다는 뜻이에요. 넓이나 부피가 몇 배로 변하는지는 절댓값으로 봐요.
직사각행렬의 행렬식도 있나요?
없어요. 행렬식은 정사각행렬에서만 정의돼요.
행렬식을 구했는데 역행렬은 어떻게 구하나요?
가우스-조던 소거법 가이드에서 단계별로 설명하고 있어요.