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행렬의 랭크와 기약 행사다리꼴(RREF) 읽는 법

2026-10-13 업데이트 · 읽는 시간 약 6분

기약 행사다리꼴(RREF)은 행렬을 가장 단순한 모양으로 정리한 결과예요. 한 번 만들어 두면 랭크, 피벗 열, 연립방정식의 해를 한눈에 읽을 수 있어요.

RREF의 조건

행렬이 기약 행사다리꼴이 되려면 아래 네 가지를 모두 만족해야 해요.

1. 성분이 모두 0인 행은 맨 아래에 있어요.
2. 각 행에서 처음으로 나오는 0이 아닌 성분(피벗)은 1이에요.
3. 아래 행의 피벗은 위 행의 피벗보다 오른쪽에 있어요. 그래서 계단 모양이 돼요.
4. 피벗이 있는 열에서 피벗을 뺀 나머지 성분은 모두 0이에요.

1~3번만 만족하면 행사다리꼴(REF)이에요. 교재에 따라 피벗이 1일 필요가 없다고 정의하기도 해요. REF는 여러 모양이 나올 수 있지만, RREF는 행렬마다 딱 하나로 정해져요. 그래서 풀이 순서가 달라도 결과는 항상 같아요.

예제: RREF 만들기

3×4 행렬을 RREF로 바꿔 봐요.

1. 1
   주어진 행렬에서 시작해요.

   12−132410−1−221
2. 2
   1열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.

   R₂ ← R₂ − 2R₁R₃ ← R₃ + R₁

   12−13003−60014
3. 3
   3열에서 피벗으로 쓸 0이 아닌 성분을 2행으로 올려요.

   R₂ ↔ R₃

   12−130014003−6
4. 4
   3열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.

   R₁ ← R₁ + R₂R₃ ← R₃ − 3R₂

   12070014000−18
5. 5
   피벗을 1로 만들기 위해 3행 전체를 피벗 값으로 나눠요.

   R₃ ← (−1/18)R₃

   120700140001
6. 6
   4열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.

   R₁ ← R₁ − 7R₃R₂ ← R₂ − 4R₃

   120000100001

최종 결과는 아래와 같아요.

결과 읽는 법

• 피벗 열은 1, 3, 4열이에요. 피벗이 있는 열이에요.
• 랭크는 피벗의 개수인 3이에요.
• 피벗이 없는 2열은 자유변수 열이에요. 연립방정식으로 보면 값을 마음대로 정할 수 있는 변수예요.

2열에서는 위 단계에서 아래쪽 성분이 모두 0이라 피벗을 잡을 수 없었어요. 이럴 때는 그 열을 건너뛰고 다음 열로 가서 피벗을 찾아요.

랭크가 알려주는 것

랭크는 행렬에서 서로 독립인 행(또는 열)이 몇 개인지를 나타내요.

• m×n 행렬의 랭크는 min(m, n)을 넘지 않아요.
• 행으로 센 랭크와 열로 센 랭크는 같아요. rank(A) = rank(Aᵀ)예요.
• n×n 행렬에서 랭크가 n이면 역행렬이 있고, 행렬식이 0이 아니에요.
• 랭크-영공간 차원 정리: rank(A) + nullity(A) = 열의 수예요. 여기서는 3 + 1 = 4라서 Ax = 0의 해 공간(영공간)의 차원은 1이에요.

열공간의 기저를 구할 때는 한 가지를 조심하세요. RREF의 피벗 열 번호만 가져오고, 열은 원래 행렬 A의 열을 써야 해요. 이 예제에서는 A의 1, 3, 4열이 열공간의 기저예요. RREF의 열은 열공간이 달라져 있어요.

자주 하는 실수

• 피벗을 1로 만들지 않고 멈춰요. 그러면 REF이고 RREF가 아니에요.
• 피벗 위쪽 성분을 0으로 만드는 걸 잊어요. RREF는 피벗 위아래가 모두 0이어야 해요.
• 0 열을 만났을 때 멈춰요. 다음 열로 넘어가서 피벗을 찾아요.
• 열공간의 기저를 RREF의 열로 써요. 원래 A의 열을 써야 해요.

자주 묻는 질문

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