연립방정식의 해가 없을 때와 무수히 많을 때 구분하는 법
연립일차방정식은 해가 하나이거나, 없거나, 무수히 많아요. 세 경우는 첨가행렬을 소거해 보면 바로 구분할 수 있어요. 예제 세 개로 차이를 확인해 봐요.
첨가행렬로 바꾸기
연립방정식 Ax = b에서 계수행렬 A의 오른쪽에 b를 붙인 행렬 [A | b]를 첨가행렬이라고 해요. 이 행렬에 행 연산을 적용해 RREF로 바꾸면 해를 읽을 수 있어요.
해의 개수를 판별하는 기준
미지수의 개수를 n이라고 할 때, 소거한 결과에서 아래 기준으로 구분해요.
| 조건 | 해의 개수 | 소거 결과에서 보이는 모양 |
|---|---|---|
| rank(A) < rank([A | b]) | 해 없음 | 0 = (0이 아닌 수) 꼴의 행이 생겨요 |
| rank(A) = rank([A | b]) = n | 해가 하나 | 모든 변수 열에 피벗이 있어요 |
| rank(A) = rank([A | b]) < n | 해가 무수히 많음 | 피벗이 없는 열(자유변수)이 있어요 |
경우 1: 해가 하나
아래 연립방정식을 풀어요.
첨가행렬을 RREF로 바꾸면 이렇게 돼요. 중간 과정은 계산기에서 모두 볼 수 있어요.
세 변수 열에 모두 피벗이 있어요. rank(A) = rank([A | b]) = 3 = n이라서 해가 하나로 정해지고, 오른쪽 열이 곧 해예요.
원래 식에 대입해서 확인해요. 2·2 + 3 − (−1) = 8, −3·2 − 3 + 2·(−1) = −11, −2·2 + 3 + 2·(−1) = −3이 모두 성립해요.
경우 2: 해가 없음
첫 번째 식에 2를 곱하면 2x + 2y + 2z = 6인데, 두 번째 식은 5라고 해서 서로 모순이에요. 소거해서 확인해 봐요.
- 1첨가행렬 [A | b]를 만들어요.111322251−101
- 21열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.
R₂ ← R₂ − 2R₁R₃ ← R₃ − R₁1113000−10−2−1−2 - 32열에서 피벗으로 쓸 0이 아닌 성분을 2행으로 올려요.
R₂ ↔ R₃11130−2−1−2000−1 - 4피벗을 1로 만들기 위해 2행 전체를 피벗 값으로 나눠요.
R₂ ← (−1/2)R₂111301121000−1 - 52열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.
R₁ ← R₁ − R₂1012201121000−1
3행이 [0, 0, 0 | −1]이 되었어요. 이 행은 0 = −1을 뜻해서 성립할 수 없어요. 그래서 해가 없어요. rank(A) = 2이고 rank([A | b]) = 3이라서 rank(A) < rank([A | b])예요.
경우 3: 해가 무수히 많음
두 번째 식은 첫 번째 식의 2배예요. 사실상 식이 두 개뿐이라는 뜻이에요.
- 1첨가행렬 [A | b]를 만들어요.121424281103
- 21열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.
R₂ ← R₂ − 2R₁R₃ ← R₃ − R₁121400000−1−1−1 - 32열에서 피벗으로 쓸 0이 아닌 성분을 2행으로 올려요.
R₂ ↔ R₃12140−1−1−10000 - 4피벗을 1로 만들기 위해 2행 전체를 피벗 값으로 나눠요.
R₂ ← (−1)R₂121401110000 - 52열에서 피벗을 제외한 나머지 성분을 0으로 만들어요.
R₁ ← R₁ − 2R₂10−1201110000
3행이 모두 0이 되었고, 3열에는 피벗이 없어요. rank(A) = rank([A | b]) = 2이고 n = 3이라서 해가 무수히 많아요. 피벗이 없는 열에 해당하는 변수 z가 자유변수예요. z = t로 두면 나머지 변수가 t로 정해져요.
t에 어떤 수를 넣어도 세 식을 모두 만족해요. 예를 들어 t = 0이면 (2, 1, 0), t = 1이면 (3, 0, 1)이에요. 자유변수의 개수는 n − rank = 3 − 2 = 1이고, 해가 직선 위에 놓인다는 뜻이에요.
자주 하는 실수
- 식의 개수와 미지수의 개수를 비교해서 판단해요. 식이 많아도 서로 겹치면 해가 있을 수 있고, 식이 적으면 해가 없는 게 아니라 무수히 많은 경우가 흔해요.
- 0 = 0인 행을 보고 해가 없다고 해요. 0 = 0은 문제가 없는 식이에요. 0 = (0이 아닌 수)일 때만 해가 없어요.
- 자유변수를 하나만 잡고 나머지를 빼먹어요. 피벗이 없는 열은 모두 자유변수예요.
- 일반해를 쓸 때 부호를 틀려요. 원래 식에 대입해서 확인하세요.
자주 묻는 질문
식이 미지수보다 많으면 항상 해가 없나요?
아니에요. 예를 들어 같은 식이 여러 번 반복되면 해가 있어요. 랭크로 판단하세요.
자유변수는 어떤 변수를 골라도 되나요?
RREF에서 피벗이 없는 열의 변수가 자유변수예요. 소거 순서를 바꾸면 달라 보일 수 있지만, 해 전체의 집합은 같아요.
Ax = 0이면 어떻게 되나요?
x = 0은 항상 해예요. 그래서 해가 없는 경우는 없고, 자유변수가 있으면 0이 아닌 해도 무수히 많아요.